閃光的網站・弛緩複合体 -Review Division-

平行移動（translate）

移動系メソッドはすべて、基本的な流れは同じもので以下のとおりです。

1. 新規に Matrix3D オブジェクトを生成
2. その新規行列の当該成分に対して当該値を代入
3. 現在の行列との合成

となると、平行移動も座標軸回転（rotateAxis）を踏襲して以下のようなコードで良さそうなもんです。

/**
* 平行移動
* | 1  0  0  dx |
* | 0  1  0  dy |
* | 0  0  1  dz |
* | 0  0  0  1  |
*/
public function translate(
　　　　　　　　　　　　dx:Number,
　　　　　　　　　　　　dy:Number,
　　　　　　　　　　　　dz:Number ):void {
　var mat:Matrix3D = new Matrix3D();
　mat.tx = dx;
　mat.ty = dy;
　mat.tz = dz;
　concat( mat );
}

しかし、平行移動（translate）と拡大縮小（scale）は、このようなコーディングはしません。

その理由は concat() です。

concat() は前々回のコードを見ていただくと分かるように、掛け算の数がやたら多いです。 掛け算というのは処理に時間がかかるとのこと。 ならばなるべく掛け算は使わないようなコーディングを心掛けたいもの。 つまり三次元変換行列でいうと、concat() の使用をできるだけ減らすということですね。

ところで行列には単位行列というものがあります。

正方行列（列の要素数と行の要素数が同じ行列）において、左上から右下に向かう対角線上の値が1でそれ以外は0という形の行列です。

三次元変換行列においては4×4の正方行列を使用するので、単位行列は以下のようになります。

| 1  0  0  0 |
| 0  1  0  0 |
| 0  0  1  0 |
| 0  0  0  1 |

ここに二つの正方行列があるとします。 ひとつは成分が何でも良い任意の正方行列（以下"a"とします）。 もうひとつは行列aと同じ列数・行数の単位行列（以下"I"とします）。

この二つの項の乗算は交換法則を満たします。そして積は行列aと同じになります。

concat() のときに書きましたが、普通、行列の乗算は交換法則が成立しません。その例外が単位行列なわけです。

a * I = I * a = a

ようするに実数乗算における1ですね、単位行列というのは。

ここで平行移動の行列と単位行列を見比べてみてください。

　 単位行列　　　　　平行移動
| 1  0  0  0 |　　| 1  0  0  dx |
| 0  1  0  0 |　　| 0  1  0  dy |
| 0  0  1  0 |　　| 0  0  1  dz |
| 0  0  0  1 |　　| 0  0  0  1  |

両者の構造はほぼ同じです。

とすると、平行移動を反映させる行列と行列aとの乗算の結果は、行列aとそれほどかけ離れたものにはならないことが予想できます。

実際に掛け算をおこない、concat() をトレースしてみましょう。

| na  nb  nc  ntx |   | 1  0  0  dx |   | a  b  c  tx |
| nd  ne  nf  nty | = | 0  1  0  dy | * | d  e  f  ty |
| ng  nh  ni  ntz |   | 0  0  1  dz |   | g  h  i  tz |
| 0   0   0   1   |   | 0  0  0  1  |   | 0  0  0  1  |

↓

na  = 1*a  + 0*d  + 0*g  + dx*0;
nb  = 1*b  + 0*e  + 0*h  + dx*0;
nc  = 1*c  + 0*f  + 0*i  + dx*0;
ntx = 1*tx + 0*ty + 0*tz + dx*1;

nd  = 0*a  + 1*d  + 0*g  + dy*0;
ne  = 0*b  + 1*e  + 0*h  + dy*0;
nf  = 0*c  + 1*h  + 0*i  + dy*0;
nty = 0*tx + 1*ty + 0*tz + dy*1;

ng  = 0*a  + 0*d  + 1*g  + dz*0;
nh  = 0*b  + 0*e  + 1*h  + dz*0;
ni  = 0*c  + 0*f  + 1*i  + dz*0;
ntz = 0*tx + 0*ty + 1*tz + dz*1;

↓

na  = a;
nb  = b;
nc  = c;
ntx = tx + dx;

nd  = d;
ne  = e;
nf  = f;
nty = ty + dy;

ng  = g;
nh  = h;
ni  = i;
ntz = tz + dz;

結果、成分 tx、ty、tz はそれぞれの移動量をプラスするだけ、それ以外の成分は変更なし、となりました。

それを踏まえると平行移動（translate）のコードは以下でオケ。

public function translate(
　　　　　　　　　　　　dx:Number,
　　　　　　　　　　　　dy:Number,
　　　　　　　　　　　　dz:Number ):void {
　_tx += dx;
　_ty += dy;
　_tz += dz;
}

ああっ！　なんてスッキリ！

続く。

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